Matriks

Knock Knock! Who's there? It's Daily Storage! Ketemu lagi guys, bersama gue yang kali ini akan membahas tentang matriks secara simple, effective and pastinya mudah dimengerti. Beruntung sekali you guys visited my blog because kalian sama sekali gak akan kehilangan setiap detik, dan menit  yang paling berharga kalian. Langsung aja, gak usah basa basi. Check it's out!

Apa itu Matriks?

Pengertian matriks adalah kumpulan bilangan (atau unsur) yang disusun menurut baris dan kolom tertentu. Bilangan-bilangan yang disusun tersebut dinamakan eleme-elemen atau komponen-komponen matriks. Nama sebuah matriks biasanya dinyatakan dengan huruf kapital. Dalam sebuah matriks ada istilah ordo. Yang dimaksud dengan ordo atau ukuran matriks adalah banyaknya baris x banyak kolom dalam sebuah matriks.

Contoh

Matriks A di atas terdiri dari 3 baris dan 4 kolom. Sobat bisa mengatakan matriks A berordo 3 x 4 atau bisa sobat hitung tulis A(3×4).

Macam-Macam Matriks

(i) Matriks Nol (O)
Dinamakan matriks nol karena semua elemennya bernilai NOL

(ii) Matriks Bujur Sangkar
Adalah matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya

Contoh

(iii) Matriks Skalar
Matriks skalar adalah matriks yang elemen-elemen pada lajur diagonalnya bernilai sama. Simak contoh di bawah ini

(iv) Matriks Identitas
Adalah matriks skalar yang elemen-elemen diagonal utamanya bernilai 1

(v) Matriks Segitiga Atas
Adalah matriks bujur sangakr yang elemen-elemen di bagwah diagonal utamanya (kiri atas ke kanan bawah) bernilai nol

(vi) Matriks Segitiga Bawah
Kebalikan dari segitiga atas, matriks ini berbentuk bujur sangkar yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.

 

 (vi) Matriks Diagonal
adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di luar diagonal utama adalah nol

Operasi Pada Matriks

Pada matriks dikenal beberapa jenis operasi seperti penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Dalam masing-masing operasi tersebut punya karakteristik sendiri-sendiri. Berikut selengkapnya:

1. Penjumlahan Dan Pengurangan Matriks

Matriks A dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika dua matriks tersebut  berukuran sama. Hasil penjumlahannya atau penjumlahannya adalah sebuah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan atau mengurangkan elemen-elemen yang seletak.

Jika

A = (a_ij) _{m x n} dan B = (b_ij) _{m x n} maka
A + B = (a_ij) _{m x n} +  (b_ij) _{m x n}  = (a_ij + b_ij) _{m x n}
A – B = (a_ij) _{m x n} –  (b_ij) _{m x n}  = (a_ij – b_ij) _{m x n}

Contoh

 

2. Perkalian Skalar Dengan Matriks

Jika skalara dikalikan dengan matriks maka akan diperoleh sebuah matriks yang elemen-elemennya merupkan perkalian skalar tersebut dengan setiap elemen matriks.

Jika A = (a_ij) _{m x n} maka k.A = k(a_ij) _{m x n =} (ka_ij) _{m x n}

Contoh

Dari operasi penjumlahan (pengurangan) dan perkalian skalar di atas didapt sfiat sifat asosiatif perkalian skalar terhadap penjumlahan (pengurangan).

kA = A.k (komutatif perkalian)
k (A + B) = k. A + k. B (asosiatif perkalian terhadap penjumlahan)
k (A – B) = k. A – k. B (asosiatif perkaian terhadap pengurangan)

3. Perkalian Dua Matriks

Matriks A dapat dikalikan dengan Matriks B (A x B) jika banyak kolom A = banyak bari B. Misal Am x n dan B n x k maka A x B = Cm x k dengan elemen-elemen C merupakan penjumlahan dari hasil kali elemen bari A dengan kolom B yang bersesuaian. Mudahnya itu sama kaya bari di kali kolom. Agar sobat lebih paham silahkan simak contoh berikut:

Transpose  Matiks

Transpose dari suatu matriks merupakan pengubahan baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris. Transpos dari matrik A dinotasikan A^T. Jadi mirip transpose yang ada di excel. Jika sebuah matriks berordo 3 x 4 ketika ditransporse akan menjadi matriks berorde 4 x 3. Simak contoh berikut:

 

dalam matriks dikenal istilah matriks simetri, yaitu matriks yang ketika ditranspose sama dengan sebelum ditranspos. Contohnya

Karena A = At maka A disebut matriks simetri.

Determinan Matriks

Setiap matriks bujur sangkar mempunyai nilai determinan. Nilai determinan dari suatu matriks merupakan suatu skalar. Jika nilai determinan suatu matriks sama dengan nol, maka matrik tersebut disebut matriks singular. Matriks singular tidak mempunyai invers/ balikan.

Contohnya

Untuk memahami rumus determinan matriks berordo 3 x 3 diatas, silahkan simak contoh di bawah ini:

Determinan dari matriks-matriks khusus

Beberapa matriks termasuk dalam matriks khusus dan punya rumus cepat determinanya

a. Matriks Diagonal

b. Matriks Segitiga Atas

c. Matriks Segititga Bawah

Invers Matriks

Invers hanya dipunyai oleh matriks yang  tidak singuler. Invers matriks A dinyatakan dengan A^-1 dan secara umum dirumuskan

Berikut ini video tentang Matriks yang akan mempermudah kalian untuk menaklukan materi ini!

Semoga bermanfaat! Don't forget to comment in the box below, subscribe my google+ account, and follow our Facebook page. Vielen Dank, Auf wiedersehen!

Read More

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat

Hey Indonesia! What should i do? I've advice get Blogging now! Ketemu lagi di blog gue, kali ini gue akan menjelaskan materi tentang persamaan linear dan kuadrat. Dari pada berlama-lama langsung aja ke bagian penting nya.

Persamaan Linear Satu Variabel

     

Bentuk umum persamaan linear satu variabel

      ax + b = 0 dengan a // 0  dan a , b Є  R

Persamaan inear tidak berubah jika kita :

1. menambah atau mengurangi ruas kiri dan kanan dengan bilangan yang sama
2. Mengali atau membagi ruas kiri dan kanan dengan bilangan yang sama

Contoh 1 :

Harga x yang memenuhi persamaan 2x – 6 = 4

Jawab :

      2x – 6 = 4

2x – 6 + 6 = 4 + 6 ( Tambahkan ruas kiri dan kana dengan 6 )

            2x = 10

       2x : 2 = 10 : 2 ( Bagilah ruas kiri dan kanan dengan 2 )

              x = 5

Jadi Himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut adalah {5}

Contoh 3:

Berapakah harga yang harus dipasang oleh seorang pedagang buku yang harga belinya Rp. 60.000,00 agar dapat memberikan potongan 20% dan masih mendapatkan untung 25%

Jawab

Misal x adalah harga yang harus dipasang , maka harga jual = x – 0,20x = 0,8x

karma untung 25% dari harga jual, maka

harga beli = 75 % harga jual

60.000 = 0,75 ( 0,8 x )

60.000 = 0,6 x

x = 60.000/0,6

Jadi harga yang harus dipasang adalah Rp. 100.000,00

Pertidaksamaan Linear

Pertidak samaan dengan pangkat tertinggi dari variable (peubah) adalah satu Himpunan penyelesaian (HP) pertidaksamaan dapat ditulis dalambentuk  notasi himpunan atau dengan garis biangan.

Contoh :

1. Tentukan himpunan penyeesaian dari pertidaksamaan di bawah ini !

a. 3x – 1 > 5                                              b. 3x + 4 ≤ 5 ( x - 1 )

Jawab :                                                      Jawab :

3x – 1 >5                                                   3x + 4 ≤ 5 ( x - 1 )

3x > 5 + 1                                                  3x + 4 ≤ 5 x - 5

3x >6                                                         3x – 5x ≤ -5 – 4

x > 6/3                                                       -2x ≤ -9

x >2                                                           x ≥ 9/2

HP = { x │x > 2,  x Є R }                         HP = { x │x ≥ 9/2,  x Є R }    

A.    Menentukan himpunan penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan kuadrat

Persamaan kuadrat didefinisikan sebagai kalimat terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan (=) dan pangkat tertinggi dari variabelnya dua. Persamaan kuadrat memiliki bentuk umum:

ax² + bx + c = 0

dengan a, b, dan c Є  R dan a ≠ 0.

a = koefisien x²

b = koefisien x

c = konstanta

Tentukan setiap koefisien variabel x², koefisien variabel x dan konstanta dari persamaan kuadrat berikut:

a. 3x² – 2x + 4 = 0

b. –x² + 5x – 7 = 0

Jawab:

a. 3x² – 2x + 4 = 0                      b. –x² + 5x – 7 = 0

koefisien x² = 3                         koefisien x² = –1

koefisien x = –2                         koefisen x = 5

konstanta = 4                             konstanta = –7

1. Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Dalam menyelesaikan setiap persamaan kuadrat yang Anda cari adalah akar-akar persamaan kuadrat atau nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut. Menyelesaikan persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan beberapa cara, yaitu memfaktorkan, menyempurnakan, dan dengan rumus abc.

a. Memfaktorkan

Sifat yang digunakan dalam menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan adalah sifat faktor nol, yaitu:

Untuk setiap p dan q bilangan riil dan berlaku p · q = 0 maka p = 0 atau q = 0

1) Memfaktorkan Jenis ax² + bx = 0

Untuk memfaktorkan persamaan kuadrat dengan bentuk ax² + bx = 0 dapat dilakukan dengan memisahkan x sesuai dengan sifat distributif, yaitu:

ax² + bx = 0

x(ax + b) = 0

Jadi, x = 0 atau ax + b = 0.

Contoh Soal

Selesaikanlah persamaan kuadrat di bawah ini:

a. x² – 5x = 0                                                               b. 4x² + 3x = 0

Jawab:

a. x² – 5x = 0                                                                 b. 4x² + 3x = 0

x(x – 5) = 0                                                                   x(4x + 3) = 0

x = 0 atau x – 5 = 0                                                        x = 0 atau 4x + 3 = 0

x = 5                                                                             4x = –3  atau x = − 3

                                                                                                                  4

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {0, 5}.            Jadi, HP adalah {-− 3  , 0}.

                                                                                                              4

2) Menggunakan Rumus abc

Dalam melengkapkan kuadrat sempurna, diperoleh cara mencari nilai akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 adalah dengan menggunakan rumus 

Carilah akar-akar persamaan kuadrat di bawah ini dengan menggunakan Rumus  ABC

X² – 4X – 12 = 0

2.Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat

Pada pembahasan sebelumnya, Anda dapat mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan berbagai cara. Jika akar-akar persamaan kuadrat telah Anda peroleh maka Anda dapat mencari hasil kali dan jumlah akar-akar persamaan kuadrat tersebut. Bagaimana halnya jika akar-akar persamaan kuadratnya belum Anda peroleh, dan Anda akan mencari jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat? Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat dapat diperoleh dengan cara berikut ini.

Misalkan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 memiliki akar-akar x₁, x₂:

D. Pertidaksamaan Kuadrat

Suatu kalimat terbuka yang memuat variabel dengan pangkat positif dan memiliki pangkat tertinggi dua dihubungkan dengan tanda disebut pertidaksamaan kuadrat.

Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat :

ax² + bx + c > 0

ax² + bx + c ≥ 0

ax² + bx + c < 0

ax² + bx + c ≤ 0

dengan a, b, dan c Є R dan a ≠ 0.

1. Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat

Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat lebih mudah apabila menggunakan garis bilangan. 

Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat berbeda dengan menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear. Pada pertidaksamaan linear, Anda dapat langsung menentukan daerah penyelesaian setelah memperoleh himpunan penyelesaiannya. Adapun pada pertidaksamaan kuadrat Anda harus menentukan daerahnya terlebih dahulu untuk dapat menentukan himpunan penyelesaiannya.

Contoh Soal

Tentukan himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan kuadrat  x² – 5x – 14 < 0

Jawab:

x² – 5x – 14 < 0

x² – 5x – 14 = 0

(x – 7) (x + 2) = 0

x – 7 = 0 atau x + 2 = 0

x = 7 atau x = –2

4. Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

a. Menyusun Persamaan Kuadrat jika Diketahui Akar-Akarnya

Jika suatu persamaan kuadrat memiliki akar-akar x₁ dan x₂ maka persamaan kuadratnya dapat dinyatakan dalam bentuk: (x – x₁) (x – x₂) = 0

b. Menyusun Persamaan Kuadrat Jika Diketahui Jumlah dan Hasil Kali Akar-akarnya

Jika suatu persamaan kuadrat memiliki akar-akar x1 dan x2 dan diketahui (x1 + x2) dan (x₁ · x₂) maka persamaan kuadratnya dapat dinyatakan dalam bentuk

x² – (x₁ + x₂)x + (x₁ · x₂) = 0

Bentuk persamaan tersebut dapat digunakan untuk menyusun persamaan kuadrat baru jika diketahui akar-akar persamaan kuadrat baru berhubungan dengan persamaan kuadrat yang lain.

E. Sistem Persamaan Limear

1. Persamaan Linear Dua Variabel

Bentuk umum dari sistem persamaan linear dua variabel adalah sebagai berikut :

a₁x + b₁y = c₁

a₂x + b₂y = c₂

dengan a, b, dan c Є  R.

Dalam menentukan penyelesaian dari SPL, Anda dapat menggunakan beberapa cara berikut ini :

a. grafik;

Contoh :

Tentukan peryelesaian dari persamaan di bawah ini dengan grafik

2x + 3y = 6

  x + y = 2

Jawab :

membuat garis persamaan pertama dengan cara mencari titik potong terhadap sumbu X dan sumbu Y

Titik potong sumbu x syaratnya y =0             Titik potong sumbu Y syaratnya  x = 0

2x + 3y = 6                                                      2x + 3y = 6

2x + 3.0= 6                                                      2.0 + 3y = 6

2x = 6                                                                     3y   = 6

x = 3                                                                        y    = 2

b. eliminasi;

Contoh :

Tentukan peryelesaian dari persamaan di bawah ini dengan eliminasi

2x + 3y = 6

  x + y = 2

Jawab :

2x + 3y = 6    x 1 => 2x + 3y = 6

  x + y = 2      x 2  =>2x + 2y = 4      -           

                                           y   = 2

2x + 3y = 6    x 1 => 2x + 3y = 6

  x + y = 2      x 3  =>3x + 3y = 6      -           

                                      - x      = 0

                                            x  = 0

Jadi Himpunan penyelesaianya adalah { 0 , 2 }

c. substitusi;

Contoh :

Tentukan peryelesaian dari persamaan di bawah ini dengan subtitusi

2x + 3y = 6

  x + y = 2

Jawab :

x + y = 2

x = 2 – y

subtitusikan kepersamaan 2x + 3y = 6

                                          2(2 – y ) + 3y = 6

                                          4 – 2y + 3y = 6

                                          4 + y = 6

                                          y = 6 – 4

                                          y = 2

subtitusikan kepersamaan x = 2 – y

                                          x = 2 – 2

                                          x = 0

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 0 , 2 }

d. gabungan (eliminasi dan substitusi);

Tentukan peryelesaian dari persamaan di bawah ini dengan eliminasi - subtitusi

2x + 3y = 6

  x + y = 2

Jawab :

2x + 3y = 6    x 1  =>2x + 3y = 6

  x + y = 2      x 2  =>2x + 2y = 4      -           

                                           y   = 2

subtitusikan kepersamaan  x + y = 2

                                           x + 2 = 2

                                           x = 2 – 2

                                           x = 0

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 0 , 2 }

Read More