Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

What's up guys! Akhirnya minggu minggu final exam sudah lewat, as i promise to you guys! kali ini gue bersemangat banget untuk ngeposting materi tentang persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak! Check this out! Keep calm and stay learning math!

Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

A. Nilai Mutlak

Nilai mutlak adalah jarak pada garis bilangan real antara bilangan yang dimaksud dengan dengan nol.

untuk $x$ bilangan real didefinisikan $\left | x \right |=\left\{\begin{matrix} x &jika & x\geqslant 0\\ -x&jika & x< 0 \end{matrix}\right.$

Contoh:

$\left | 8 \right |=8$ ,

$\left | -8 \right |=8$ ,

$\left | 0 \right |=0$

B. Persamaan Nilai Mutlak

Sifat-sifat nilai mutlak

$\left | ab \right |=\left | a \right |.\left | b \right |$
$\left | \frac{a}{b} \right |=\frac{\left | a \right |}{\left | b \right |}$
$\left | a+b \right |\leq \left | a \right |+\left | b \right |$ , (ketaksamaan segitiga)
$\left | a-b \right |\geqslant \left | \left | a \right |-\left | b \right | \right |$
$\sqrt{x^{2}}=\left | x \right |$
$\left | x \right |^{2}=x^{2}$
$\left | x \right |< a\Leftrightarrow -a< x< a$
$\left | x \right |> a\Leftrightarrow x<-a$ atau $x> a$

EItss.. Sebelum you guys melihat contoh soal, harap dikerjakan sendiri dulu soal soal dibawah baru setelah itu kalian lihat pembahasan biar kalian tambah mengerti dan tahu kesalahan kalian dimana:D

Contoh Soal:

1. Tentukan nilai $x$ yang memenuhi $\left | x-3 \right |=2014$
Jawab:

$x-3=2014$ ………………… 1)
$-(x-3)=2014$ ……………. 2)

Dari persamaan (1) diperoleh $x=2014+3=2017$ , dan dari persamaan (2) diperoleh $-x+3=2014 \Rightarrow x=3-2014=-2011$ .
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=-2011$ atau $x=2017$

$\left | mn \right |=\sqrt{(mn)^{2}}=\sqrt{m^{2}.n^{2}}=\sqrt{m^{2}}.\sqrt{n^{2}}=\left | m \right |.\left | n \right |$

3. Tentukan nilai $x$ yang memenuhi $\sqrt{(x-3)^{2}}=7$
Jawab:

$\sqrt{(x-3)^{2}}=7$

————————————————— ,masing-masing ruas dikuadratkan

$(x-3)^{2}=49$ $x^{2}-6x+9-49=0$ $x^{2}-6x-40=0$ $(x+4)(x-10)=0$ $x+4=0\:\: \: V\: \: x-10=0$ $x=-4\: \: \: atau\: \: x=10$

4. Gambarkanlah grafik $f(x)=\frac{\left | x \right |}{x}$ untuk $x$ bilangan real!

Jawab :

untuk

$x=0\: \: \Rightarrow f(0)=\frac{\left | 0 \right |}{0}=\frac{0}{0}$ = tak tentu aka tidak terdefinisi (indeterminate)

$x=1\: \: \Rightarrow f(1)=\frac{\left | 1 \right |}{1}=\frac{1}{1}=1$

$x=2\: \: \Rightarrow f(2)=\frac{\left | 2 \right |}{2}=\frac{2}{2}=1$

$x=-1\: \: \Rightarrow f(-1)=\frac{\left | -1 \right |}{-1}=\frac{1}{-1}=-1$

$x=-2\: \: \Rightarrow f(-2)=\frac{\left | -2 \right |}{-2}=\frac{2}{-2}=-1$

dan seterusnya

Perhatikanlah ilustrasi berikut ini

[sumber]

Soal Latihan

Tentukan nilai dari $\frac{\left | 40 \right |}{\left | 8 \right |}$
Tentukan nilai dari $2012-\left | 2013-\left | 2014 \right | \right |$
Tentukanlah nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\left | x-20 \right |-30=23$
Carilah harga $x$ yang memenuhi $\sqrt{(x-5)^{2}}=-2$
Carilah harga $x$ yang memenuhi $\left | \frac{2x+3}{5} \right |=6$
Tunjukkan bahwa $\left | \frac{x}{y} \right |=\frac{\left | x \right |}{\left | y \right |}$
Tunjukkan bahwa $\left | x \right |^{2}=x^{2}=\left | -x \right |^{2}$
Gambarlah grafik $f(x)=\left | x \right |,\: \: untuk \: \: x\: \varepsilon \: R$
Gambarkanlah grafik $f(x)=\left | 2x-1 \right |$ , untuk $1<x<10$

C. Pertidaksaan Nilai Mutlak

Untuk $k,\: x,\: y,\:$ bilangan real dan $k>0$ , maka

$\left | x \right |\geqslant 0$
$\left | x+y \right |\leqslant \left | x \right |+\left | y \right |$
$\left | x-y \right |\leqslant \left | x \right |+\left | y \right |$
Jika $x<y$ , maka $x^{2}<y^{2}$
$\left | x \right |\leq k\: \: \Leftrightarrow \: \: -k\leq x\leq k$
$\left | x \right |\geq k\: \: \Leftrightarrow \: x\leq -k\: \, atau\: x\geq k$

Contoh Soal:

Harap kerjain soal dibawah ini dulu guys, setelah itu baru lihat pembahasannya biar kalian bisa mengukur kadar kemengertian kalian di materi ini:D

1. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari $\left | x-2014 \right |\leq 6$

Jawab:

$\left | x-2014 \right |\leq 6$ $-6\leq x-2014\leq 6\: \: \Leftrightarrow \: \: -6+2014\leq x-2014+2014\leq 6+2014\: \: \Leftrightarrow \: \: 2008\leq x\leq 2020$ $HP=\left \{ x\: |\: 2008\leq x\leq 2020,\: x\: \epsilon \: R\, \right \}$

2. Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan harga mutlak dari $\left | 2x-3 \right |\geq 5$

Jawab :

$2x-3\leq -5\: \Leftrightarrow \: 2x\leq -5+3\: \Leftrightarrow \: 2x\leq -2\: \Leftrightarrow\: x\leq -1$ , atau
$2x-3\geq 5\: \Leftrightarrow \: 2x\geq 5+3\: \Leftrightarrow \: 2x\geq 8\: \Leftrightarrow \: x\geq 4$

Sehingga penyelesaiannya adalah $x\leq -1\: \: atau\: \: x\geq 4$

3. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan harga mutlak dari $\frac{2}{1+x}\leq \left | x \right |$

Jawab:

$\frac{2}{1+x}\leq \left | x \right |\: \Leftrightarrow \: \left | x \right |\geq \frac{2}{1+x}$

$x\leq -\frac{2}{1+x}\: \Leftrightarrow \: x+\frac{2}{x+1}\leq 0\: \Leftrightarrow \: \frac{x(x+1)+2}{x+1}\leq 0\: \Leftrightarrow \: \frac{x^{2}+x+2}{x+1}\leq 0\: \Leftrightarrow \: \frac{definit\:\: positif}{x+1}\leq 0\: \Leftrightarrow \: x< -1$ , atau
$x\geq \frac{2}{1+x}\: \Leftrightarrow \: x-\frac{2}{x+1}\geq 0\: \Leftrightarrow \: \frac{x(x+1)-2}{x+1}\geq 0\: \Leftrightarrow \: \frac{x^{2}+x-2}{x+1}\geq 0\: \Leftrightarrow \: \frac{(x+2)(x-1)}{x+1}\geq 0\: \Leftrightarrow \: -2\leq x< -1\: \: atau\: \: x\geq 1$

Jadi, penyelesaiannya adalah $x< -1\: \: atau\: \: x\geq 1$

Latihan Soal

Penyelesaian dari pertidaksamaan $\left | x-5 \right |<5$ adalah ….
Penyelesaian dari pertidaksamaan $\left | 3x-2 \right |\geq 7$ adalah ….
Penyelesaian dari pertidaksamaan $\left | x^{2}+5x \right |\leq 6$ adalah ….
Carilah nilai x yang memenuhi $x\: +\: \left | x-3 \right |\leq 3$
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\left | x-1 \right |-2\left | x \right |>3$ adalah ….
Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan $\left | x-2 \right |^{2}>4\left | x-2 \right |+12$
Penyelesaian dari pertidaksamaan $\left | \frac{5}{4x-3} \right |\leq 1$ adalah ….
Penyelesaian dari pertidaksamaan $\left | \frac{2x-1}{x+5} \right |\leq 3$